将来、ニートを支援する仕事に着きたいです。

将来、ニートを支援する仕事に着きたいです。
ネットで探しても支援される側のページしか見つかりません。
そもそもそのような企業などはあるのでしょうか？
引きこもりや不登校の支援ではありません。

ハローワークはどうでしょう。
ニート支援を特化しているわけではありませんが、業務内容に加えられる可能性はあります。

ハローワークで失業保険の手続きに行ってきました。目星をつけているところのお仕事開始が秋頃とのこと。採用が早く決まっても収入を得ることができません。その場合受給できるんでしょうか。

受給資格が無くなるのは初出勤日からです。
採用が決まっても初出勤日の前日まで受給可能です。
（採用が決まった時点ではまだ無職なので受給はストップされません。）

今度ハローワークでの説明会がありますし、「失業給付のしおり」にそのようなことが書かれたページがありますよ。

雇用保険の継続について

私は今年の3月までWワークで働いていました。
今年３月にお昼勤めていた職場が会社都合により退職となりました。

その為、夜の仕事をフルで働くようになり、勤
務時数が増えたため、今年7月より雇用保険に加入できることになりました。

お昼に働いていた所では、雇用保険加入しておりましたが、夜の仕事があったため失業保険は受けておりません。

その為、ハローワークに聞いたところ雇用保険が一年以内であれば継続できるとのことだったので、ハローワークから雇用保険被保険者証を交付して頂きました。
ハローワークの方によると、この証明書の番号が必要なので、今勤めている会社に申請すればいいと言われました。

そしていざ、職場の責任者の方に報告すると、前職が分かれば大丈夫だから番号は必要ないと言われました。

番号が必要ならば聞きます。
と言われたのですが、その後何もありません。
あまりガツガツ聞きすぎるのも、気が引けてしまって…(--;)

雇用保険に加入できると言われたのが１週間ほど前なので、ちょっとバタバタでした。
無事継続できていれば、問題ないのですが、口約束になってしまったので少し心配です。
職場の責任者の言う通りで大丈夫なのでしょうか？

よろしければ回答お願いいたします(__)

責任者の方が言ってることは正しいと思います。

雇用保険被保険者証がない場合は履歴書や前職が分かれば職安のデータで探せます。
ただ、同姓同名のかたもいるので、雇用保険被保険者証があれば添付します、
職安にデータが引き継がれたか確認するか、
会社に雇用保険被保険者証の雇用保険番号が同じであることを確認すればいいと思いますよ。
雇用保険被保険者証をもらっていたら番号が同じであることを確認してください。